В классической механике вектором Лапласа — Рунге — Ленца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды).

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода , ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ A.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Как определено ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A всегда находится в плоскости движения — то есть, A·L=0 — для любой центральной силы.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца A может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях .

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия .

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение A вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением F(r)=(-k/r^2)*r, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A определён математически по формуле

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A перпендикулярен вектору углового момента L и, таким образом, находится в плоскости орбиты.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A применимо для единственной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A и вектора углового момента L используется в доказательстве того, что вектор импульса p движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Семь скалярных величин: энергия E и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца A и момента импульса L — связаны двумя соотношениями.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Для векторов выполняется условие ортогональности A·L=0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше A² = m²k² + 2mEL².

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах (ξ, η), которые определяются следующим образом

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса px и py можно показать, что β эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца A в присутствии электрического поля E

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца