Например, уравнения фракталов помогают голливудским компьютерам создавать более реалистичные ландшафты, а докторам измерять красные кровяные тельца неправильной формы, чтобы разработать новые лекарства.

Источник: Скончался известный математик Бенуа Мандельброт

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода , ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера .

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением F(r)=(-k/r^2)*r, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A определён математически по формуле

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Уравнение A·L=0 верно, потому что вектора p×L и r перпендикулярны L.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Вычисляя векторное произведение A и L, приходим к уравнению для p

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Направляя вектор L вдоль оси z, а главную полуось — по оси x, приходим к уравнению

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к d интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат .

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (d = 3) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах , как описано ниже.

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах (ξ, η), которые определяются следующим образом

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса px и py можно показать, что β эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

Источник: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Итак, в обеих частях уравнения обмена вакуум.

Источник: 2.4.0

Отец Винченцо — Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) — был одним из крупных итальянских математиков того времени.

Источник: Риккати, Винченцо де

Винченцо Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач.

Источник: Риккати, Винченцо де

Это позволяет перейти от графической модели к математической, в которой описание ведется по уравнениям, аналогичным законам Кирхгофа в электротехнике или уравнениям гидравлики.

Источник: Основы системного проектирования

Это позволяет перейти от графической модели к математической, в которой описание ведется по уравнениям, аналогичным законам Кирхгофа в электротехнике или уравнениям гидравлики.

Источник: Основы системного проектирования

Решение имеет вид функциональной зависимости (аналитического уравнения), например, уравнения формы поверхности равнопрочного вала, закона нагружения;

Источник: Основы системного проектирования

Решение имеет вид функциональной зависимости (аналитического уравнения), например, уравнения формы поверхности равнопрочного вала, закона нагружения;

Источник: Основы системного проектирования

Программные комплексы бывают прикладные, привязанные к предметной области и конкретному объекту, явлению, процессу, и общие, реализующие универсальные математические соотношения (например, расчет системы алгебраических уравнений).

Источник: Основы системного проектирования

Очевидно, что решать уравнения с параметрами, заданными в таком виде, удобнее, хотя теряется ощущение точности не только исходных данных, но и результата вычислений.

Источник: Основы системного проектирования

Усилия в ее элементах однозначно определяются из уравнений статики;

Источник: Основы системного проектирования

Это вызвано тем, что число искомых параметров (неизвестных) больше числа связывающих их условий (уравнений).

Источник: Основы системного проектирования

Поскольку, упрощенно говоря, уравнение одно (f), а неизвестных величин — две (Р, М), то задачу решают как оптимизационную или же одним из неизвестных сначала задаются.

Источник: Основы системного проектирования

Размеры затем определяют из уравнений, отражающих требования ТЗ (условия прочности и жесткости и т.д.), состыковки и т.п.

Источник: Основы системного проектирования

Из уравнений, отражающих требования ТЗ, затем определяют физико-механические характеристики материала (модуль упругости, пределы прочности и выносливости, твердость и т.п.), по которым подбирают его марку.

Источник: Основы системного проектирования

Подбор математической модели явления требует соблюдения размерностей значений, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Источник: Возможность определения тектонических напряжений в горных породах по замерам пластовых давлений в ск

Адекватность размерностей этого уравнения может быть соблюдена путем введения корня в ее правую часть: кгс/см²=√((кгс/см²)/(1/(кгс/см²))=кгс²/см4=кгс/см², где m — величина безразмерная.

Источник: Возможность определения тектонических напряжений в горных породах по замерам пластовых давлений в ск

Отношение агента к упорядоченным движениям электрических индивидов, составляющих материю, является вполне определённым уравнениями электромагнитного доля.

Источник: Возможный смысл теории квант

• «...По Лоренцу, состояние эфира можно описывать посредством двух направленных (векторных) величин – напряженностью электрического поля E и напряженностью магнитного поля H – изменения которых, пространственно и временно взаимосвязано уравнением Максвелла» (19 стр. 187, 231, 247;..).

Источник: ХАРАКТЕРИСТИКА ЭФИРА

Здесь, в некоторых случаях, у атомов гелия и гелиоподобных веществ, обнаружено отклонение энергетического уровня от требований уравнения Дирака, которую современная наука объясняет коррелятивными взаимодействиями вакуума – Дж.М.)

Источник: ХАРАКТЕРИСТИКА ЭФИРА

Вихревые кольца имеют одну особенность: при больших скоростях движения они становятся меньше, а при малых – больше (это описывает и эмпирически найденное уравнение де Бройля λ = h/mV).

Источник: ХАРАКТЕРИСТИКА ЭФИРА

• В-пятых, вообще, фактов для доказательств некорректности этого опыта достаточно: (1) асимметрия, порожденная от уравнений Максвелла, различающая движение наблюдателя, от движения заряженной частицы в Кулоновом поле Земли; (2) доказавшие эти уравнения исторические опыты Фарадея (1838), Рентгена (1885-1988), Вильсона (1905), Роуланда (1875), Эйхенвальда (1901) и других, где получено, что независимо от диэлектрического коэффициента, движения любого тела (предмета) в электрическом поле создает – магнитное, а в магнитном – электрическое поле (19 стр. 58; 27 стр. 176; 31 стр. 332; 68 стр. 10-13;..); (3) самопроизвольное намагничивание железных корпусов движущихся самолетов и судов (кораблей). (10 стр. 279; 30 стр. 336; 76 стр. 16;..) и др. из числа таких родов фактов.

Источник: Экспериментальные «ревизии» светоносной среды

• В-пятых, вообще, фактов для доказательств некорректности этого опыта достаточно: (1) асимметрия, порожденная от уравнений Максвелла, различающая движение наблюдателя, от движения заряженной частицы в Кулоновом поле Земли; (2) доказавшие эти уравнения исторические опыты Фарадея (1838), Рентгена (1885-1988), Вильсона (1905), Роуланда (1875), Эйхенвальда (1901) и других, где получено, что независимо от диэлектрического коэффициента, движения любого тела (предмета) в электрическом поле создает – магнитное, а в магнитном – электрическое поле (19 стр. 58; 27 стр. 176; 31 стр. 332; 68 стр. 10-13;..); (3) самопроизвольное намагничивание железных корпусов движущихся самолетов и судов (кораблей). (10 стр. 279; 30 стр. 336; 76 стр. 16;..) и др. из числа таких родов фактов.

Источник: Экспериментальные «ревизии» светоносной среды

В-третьих и в-последних, алгебраическая задача сводится к решению одного уравнения.

Источник: История эвристики как науки

Далее, доказательство того, что для каждой удовлетворяющей уравнениям (1) системы аналитических функций может быть получена вышеописанным способом определяющая ее система функциональных элементов, проводится совершенно так же, как это было сделано в конце § II для случая, когда дано только одно дифференциальное уравнение.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Далее, доказательство того, что для каждой удовлетворяющей уравнениям (1) системы аналитических функций может быть получена вышеописанным способом определяющая ее система функциональных элементов, проводится совершенно так же, как это было сделано в конце § II для случая, когда дано только одно дифференциальное уравнение.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Особые решения уравнений (1) образуют такие системы функций φ0, φ1, ... , < φm, которые удовлетворяют, кроме вышеуказанных уравнений, еще и уравнению G' = 0.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Особые решения уравнений (1) образуют такие системы функций φ0, φ1, ... , < φm, которые удовлетворяют, кроме вышеуказанных уравнений, еще и уравнению G' = 0.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Особые решения уравнений (1) образуют такие системы функций φ0, φ1, ... , < φm, которые удовлетворяют, кроме вышеуказанных уравнений, еще и уравнению G' = 0.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Но определение этих особых систем функций всегда может быть выполнено через алгебраические уравнения или при помощи системы других дифференциальных уравнений, для которых они не являются особыми решениями.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Но определение этих особых систем функций всегда может быть выполнено через алгебраические уравнения или при помощи системы других дифференциальных уравнений, для которых они не являются особыми решениями.

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

И трансцендентные дифференциальные уравнения в частных производных могут быть во многих случаях приведены к системе уравнений (1) таким образом, что

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

И трансцендентные дифференциальные уравнения в частных производных могут быть во многих случаях приведены к системе уравнений (1) таким образом, что

Источник: К теории уравнений частных производных (отрывок)

Очевидно, в этом случае мы имеем только одну систему частных интегралов дифференциальных уравнений в частных производных (1).

Источник: О преломлении света в кристаллических средах (отрывок)

Прежде чем обсуждать возможность колебаний в кристаллической среде по теории Френеля, необходимо, во всяком случае, построить общее решение дифференциальных уравнений в частных производных (1), так как только тогда мы будем знать все возможные движения.

Источник: О преломлении света в кристаллических средах (отрывок)

Мой глубокоуважаемый учитель Вейерштрасс посоветовал мне заняться этим вопросом, ожидая, что метод, найденный им много лет назад и примененный к интегрированию некоторых более простых линейных дифференциальных уравнений в частных производных, и в этом случае оправдает себя.

Источник: О преломлении света в кристаллических средах (отрывок)

При больших значениях отношения размера рассеивающих частиц к длине волны закон рассеивания изменяется согласно Уравнению Гюстава Ми; когда же это отношение больше 10, с достаточной для практики точностью применимы законы геометрической оптики.

Источник: Диффузное излучение неба